Mateadictos: ¡Cuidado con los monederos!

¿Cómo hay que distribuir 127 monedas de un euro en 7 monederos de forma que para pagar cualquier cantidad entre 1 y 127 euros se haga entregando monederos completos?

Si tienes la solución y quieres participar en el sorteo de libros de matemáticas, escribe la respuesta en un comentario a esta entrada o manda un correo a lamecanicadelcaracol@eitb.eus

Mateadictos: Un problema de hermanos y hermanas

B tiene el doble de hermanos que de hermanas, pero si al número total de hermanos se le resta el número de las hermanas de la familia, incluida ella, el número resultante es tres. ¿Cuántos hermanos y hermanas componen la familia?

Solución:

La familia son 5 hermanas, incluida B, y 8 hermanos. Solo hay que plantear un sistema de ecuaciones con la información que hay en el texto del problema. Si n es el número de hermanas y m el número de hermanos, las hipótesis del texto nos dicen que 2 (n – 1) = m y m – n = 3, cuya solución es n = 5 y m = 8

 

Mateadictos: problemas de ingenio para el principio de curso

las monedas de oro: un rico comerciante guarda en una habitación de su palacio una cierta cantidad de monedas de oro. El palacio está vigilado por tres guardianes. Una noche entra un ladrón y roba las monedas de oro. Sin embargo, al intentar salir del palacio se encuentra con uno de los guardianes, y para comprar su silencio (ya que de otra forma perderá sus monedas y su vida), le da la mitad de las monedas que tenía más y cuatro más. Al continuar su escapada del palacio se encuentra con el segundo guardián, al que también soborna con la mitad de las monedas que tiene y  cuatro monedas más. Cuando ya está a punto de salir se encuentra con el tercer guardián, a quien le entrega la mitad de las monedas que le habían quedado, más cuatro monedas. Si al ladrón unicamente le quedaron 6 monedas de oro, ¿cuántas había robado originalmente?

La solución de este problema se puede abordar desde dos puntos de vista distintos. Uno de ellos es plantear las ecuaciones algebraicas de las monedas que le van quedando hasta el final, y resolver la ecuación algebraica que queda.

La cuestión sería así. Sea x la cantidad de monedas de oro que robó el ladrón. El primer guardián se quedó con x/2 + 4 monedas, la mitad más 4, luego el ladrón continuó con x – (x/2 + 4) = x/2 – 4 monedas. El segundo guardián se llevó la mitad de esas más 4, es decir, (x/2 – 4)/2 – 4 = x/4 + 2, y al ladrón le quedaron, haciendo la correspondiente operación, x/4 – 6. Un argumento similar nos llevará a que tras encontrarse con el tercer guardián, al ladrón le quedaron x/8 – 7 monedas de oro, como sabemos que eran 6, entonces, la cantidad de monedas robadas era x = 104.

Otra forma de resolver este problema es ir de atrás hacia adelante, es decir, de las monedas que le quedaron hasta las que robó, añadiendo las que fue cediendo a los guardianes.

Salió del palacio con 6 monedas. Como al tercer guardián le dio la mitad de las que llevaba en ese momento más 4 (matemáticamente sería y/2 +4), le quedaron la mitad que llevaba menos 4  (matemáticamente sería y/2 – 4) entonces llevaba 2 (6 + 4) = 20 monedas de oro.

Justo antes, cuando se encontró con el segundo guardián, llevaba, por el mismo razonamiento anterior, 2 (20 + 4) = 48 monedas. Mientras que inicialmente, antes de encontrarse al primer guardián, estaba en posesión de 2 (48 + 4) = 104 monedas.

Comiendo manzanas: Cuatro amigas han comprado 11 manzanas, que se han ido comiendo mientras conversaban. Al terminar la conversación ya no queda ninguna manzana y todas han comido alguna.  Cada una de ellas sabe cuántas manzanas ha comido, pero no las que han comido el resto. Entonces, se produce el siguiente diálogo…

Aroa: ¿has comido más manzanas que yo, Bera?

Bera: No lo sé. ¿Has comido tú, Edurne, más manzanas que yo?

Edurne: No lo sé.

Ante lo que Irati exclama “¡Ajá!”, ya que ha caído en la cuenta de cuantas manzanas ha comido cada una. Asumiendo que nadie pregunta algo que ya sabe y que cada una piensa bien las respuestas de las anteriores, ¿cuántas manzanas ha comido cada una?

La solución a este problema es que Aroa ha comido 1 manzana, Bera 2, Edurne 3 e Irati 5. ¿Cómo hemos llegado a esta solución?

La cuestión es que las preguntas, y las respuestas, de las cuatro amigas nos dan una serie de informaciones que nos permiten  deducir cuántas manzanas ha comido cada una. Por ejemplo, Aroa le pregunta a Bera a ver si esta ha comido más manzanas que ella, por lo tanto, como hay 11 manzanas en total, eso quiere decir que Aroa no ha podido comer 5, o más, manzanas.

Posible número de manzanas que ha comido Aroa: {1, 2, 3, 4}

Pero resulta que Bera le contesta que no sabe, luego Bera no pudo comer 1 manzana, ya que en ese caso sí sabría la respuesta, es decir, que no comió más que Aroa. Pero tampoco puedo comer 5, o más, manzanas.

Posible número de manzanas que ha comido Bera: {2, 3, 4}

Edurne, al igual que nosotros, habrá deducido esto que acabamos de decir, pero no sabe si comió más que Bera, luego no pudo comer 2 manzanas.

Posible número de manzanas que ha comido Edurne: {3, 4}

Y con esta información Irati se da cuenta de cuántas manzanas ha comido cada una… teniendo en cuenta el número de manzanas que han podido comer Aroa, Bera y Edurne, estas han sido al menos 6 manzanas, entre las tres, luego Irati habrá comido como mucho 5 manzanas. Pero Irati solo puede estar segura de cuantas ha comido cada una si ella misma ha comido 5 manzanas, ya que, por ejemplo, si hubiese comido 4 manzanas, habría más de una posibilidad para el resto, como A(1)+B(2)+E(4) o A(2)+B(2)+E(3), y lo mismo para los casos en los que hubiese comido 1, 2 o 3 manzanas.

En consecuencia, Irati ha comido 5 manzanas, y sus amigas el mínimo de las que eran posibles, 1 Ane, 2 Bera y 3 Edurne.

 

El baile: En un baile que se celebró en casa de Ane, al que acudieron 20 amigos, entre chicos y chicas, Miren bailó con 7 chicos, Eider con 8, Haizea con 9. Así sucesivamente hasta llegar a Ane, que bailó con todos. ¿Cuántos jóvenes había en la fiesta?

La solución es bastante sencilla… solamente hay que ir contando …

1 chica (Miren) … 7 chicos… (en total serían 8, si solo hubiese 1 chica, pero son 20)

2 chicas (Eider)…  8 chicos (en total, 10)

3 chicas (Haizea)… 9 chicos (en total, 12)

n chicas (Ane)… 6 + n chicos (en total, 6 + 2n = 20)

Es decir, n = 7 chicas y 6 + 7 = 13 chicos.

Podemos hacerlo contando con los dedos de la mano. Vamos desplegando un dedo por cada chica y contando el número de chicos con los que baila cada nueva chica (1-7, 2-8, 3-9, 4-10, etc), y cuando el número de dedos más el número de chicos, que decimos en voz alta, sumen 20 hemos terminado (7 + 13 = 20).

Y un reto a resolver para participar en el sorteo de libros de matemáticas:

La multiplicación incógnita:  si las letras a, b, c, d y e representan cifras, distintas, de los números abcde y su invertido, edcba, que verifican abcde x 4 = edcba, ¿cuál es el valor de cada una de ellas?

Solución: Por supuesto, para resolver este sencillo juego se necesita utilizar las propiedades básicas de la multiplicación. Para empezar, como los dos números tienen la misma cantidad de dígitos, entonces la cifra a solo puede tomar los valores 1 y 2. Pero como al multiplicar 4 x e tiene que terminar en la cifra a, y es un par (ya que 4 lo es), entonces a = 2.
Como e es el primer dígito del resultado y el primero del multiplicador es a = 2, entonces los posibles valores de e son 8 y 9. Pero como acabamos de comentar 4 x e tiene que terminar en a = 2, entonces e = 8 (4 x 8 =32). Pero eso implica que cuando se multiplica 4 x b no puede haber llevadas, ya que 4 x (a,2) = (e, 8), entonces b solo puede tomar los valores 0 y 1, ya que el 2 ya está. Además, b no va a poder tomar el valor 0, ya que… al multiplicar 4 x e (e vale 8), nos llevamos 3 (impar), que sumadas al resultado de multiplicar 4 x d, que es par, no puede terminar en 0, que sería el segundo dígito del resultado edcba. Es decir, b = 1.
Entonces, puesto que b = 1, en el resultado, al hacer 4 x d + 3, este número debe terminar en 1, luego solo puede ser d = 2 o 7, pero 2 ya está, luego d = 7. Además, al hacer 4 x d(7) + 3 = 31, nos llevamos 3, que se añade a la multiplicación 4 x c, luego 4 x c + 3 debe terminar en c, es decir, c = 9.

La solución es, por lo tanto, 21978 x 4 = 87912.

 

Mateadictos: un problema de pesadas

Tejemos 9 monedas, pero una de ellas es defectuosa y pesa diferente de las demás. ¿Cómo averiguar cuál es la defectuosa si contamos para ello con una balanza de platillos con dos brazos iguales? (nota: se trata de hacerlo con el menor número de pesadas posibles)

Respuesta:

  1. A) Supongamos que tenemos solamente 3 monedas. ¿Cuántas pesadas necesitaríamos? Podemos hacer tres grupos de una moneda y poner dos monedas en la balanza, una en cada brazo.

A1) Si pesan lo mismo, la defectuosa es la otra. Aunque no sabemos si pesa más o menos, para ello deberíamos quitar una de la balanza y colocar la defectuosa, con lo que conoceremos si pesa más (si el brazo de la balanza en el que la colocamos va hacia abajo) o menos (si el brazo va hacia arriba) que la otra, luego que las otras dos, que son iguales.

A2) Si no pesan lo mismo, la defectuosa es una de las de la balanza. Para saber cuál es y si pesa más o menos se necesita realizar otra pesada. Quitemos, por ejemplo, la moneda que está en el brazo que pesa más, el que está hacia abajo, y coloquemos ahí la tercera moneda. Si ahora los brazos se equilibran, es que la moneda diferente es la que acabamos de quitar y pesa más, pero si no se equilibra, la moneda diferente es la del otro brazo y pesa menos.

Luego, con tres monedas, el número de pesadas que se necesita para conocer cual es la moneda defectuosa, y cual es su defecto, es dos.

  1. B) Consideremos ahora el caso de las 9 monedas, que es el problema original. Hacemos tres grupos de tres monedas y actuamos como antes, pero cada grupo de tres monedas como una unidad. De esta forma sabremos, con dos pesadas, cual es el grupo de tres monedas que es diferente y si pesa más, o menos, de forma que en ese grupo está la moneda defectuosa y sabemos ya si pesa más o menos que las otras. Ahora, con tres monedas, y conociendo si pesa más, o menos, que las otras, solo necesitamos una pesada para ver cual es, y en total tres pesadas. Se hacen tres grupos de una moneda, y se ponen dos monedas en la balanza, una en cada brazo, si pesan lo mismo la defectuosa es la otra, pero si no pesan lo mismo, como sabemos si la defectuosa pesa más o menos que las demás, esto nos permite saber cual de las dos que están en la balanza es la defectuosa.

Por lo tanto, con nueve monedas, el número de pesadas que se necesita para conocer cual es la moneda defectuosa, y cual es su defecto, es tres.

Además, hemos encontrado una solución general que nos sirve para grupos de monedas que sean múltiplos de 3, es decir, para 27 monedas (haríamos tres grupos de 9 monedas) se necesitarían cuatro pesadas o para 81 monedas, cinco pesadas

Mateadictos: las tres cervezas

Tres amigos van a una fiesta de la cerveza. Cada uno de ellos lleva una jarra propia, uno de 5 dl (es decir, medio litro), otro de 4 dl y el tercero de 2 dl. Al llegar a la fiesta compran entre los tres una jarra de cerveza de 9 dl. ¿Cómo pueden conseguir (en la menor cantidad de movimientos posibles) dividir la cerveza que han comprado en tres partes iguales?

Solución:

Una de las posibles soluciones ( en total hay cuatro)

9 dl 5 dl 4 dl 2 dl
9 0 0 0
5 0 4 0
3 0 4 2
3 2 4 0
3 5 1 0
3 3 1 2
3 3 3 0

 

 

 

Mateadictos: El banquete de los 41

En un banquete hay 41 personas, hombres, mujeres y niños, que gastan en total 40 dracmas, pero cada hombre paga 4 dracmas, cada mujer 3 dracmas y cada niño 4 óbolos. Teniendo en cuenta que cada dracma equivale a 12 óbolos , ¿Cuántos hombres, mujeres y niños hay en este banquete?

Solución:

5 hombres, 3 mujeres y 33 niños. Si hay x hombres, y mujeres y z niños, las condiciones del problema nos dicen que x + y + z = 40, 4x + 9y + (4/12)z = 41. Con un poco de álgebra –multiplicando la segunda ecuación por 3- esta queda 12x + 9y + z = 120. Y restando ambas, 11x + 8y =79, cuya solución es x = 5, y =3.

Mateadictos: el problema del desfile militar

En un desfile militar se intenta organizar a los soldados para que en cada fila haya el mismo número de soldados. El mando a cargo del desfile descubre que si se les agrupa en filas de 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 o 12 soldados, siempre sobra un soldado, pero si en cada fila hay 13 soldados están justos. ¿Cuál es el mínimo número de soldados que cumple esta propiedad?

Solución:

Si llamamos n al número de soldados, sabemos que n – 1 es divisible por 2 (puesto que al hacer filas de 2 soldados sobraba uno), de la misma forma será divisible por 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 y 12, luego debemos tomar el mínimo común múltiplo de estos números, que es 23 x 32 x 5 x 7 x 11 = 27.720, luego el número de soldados es n = 27.721

 

Mateadictos: el problema del pintor

Un pintor debe de pintar dos esferas hechas con el mismo material, pero la mayor pesa 27 kilogramos y la pequeña 8. Si hacen falta 900 gramos de pintura para pintar la esfera grande, ¿cuántos se necesitarán para la pequeña?

Solución:

El volumen de cada esfera, y por lo tanto, también su peso es proporcional al cubo del radio de la misma, ya que volumen de la esfera = (4/3) x pi x (radio)3. Por lo tanto, si R es el radio de la esfera grande y r el de la pequeña, entonces el cociente entre los pesos, y entre los volúmenes, es Peso [R] / Peso [r] = V[R] / V[r] = R3 / r3 = 27 / 8.

Ahora, si tenemos en cuenta que el peso de la pintura necesaria es proporcional a la superficie de la esfera es 4 x pi x (radio)2, se deduce que Pintura [R] / Pintura [r] = S[R] / S[r] = 9/4, y el peso de la pintura de la esfera grande es Pintura [R] = 900 gramos, luego Pintura [r] = 400 gramos.

 

Mateadictos: el problema de las balas de cañón

Si en la época en la que se utilizaban bolas como proyectiles para los cañones, éstas se hubiesen almacenado formando una pirámide de base cuadrada, con 15 bolas de cañón de lado en el cuadrado de la base, ¿cuantas bolas de cañón habría en la pirámide?

Solución:

En la base tenemos un cuadrado de 15 por 15 bolas, luego hay un total de 152 bolas. La anterior capa es un cuadrado de lado 14, luego con 142 bolas. La siguiente tiene 132 bolas, y así se continúa hasta las dos capas superiores, que tienen 22 = 4 bolas y 1 bola. En total hay por lo tanto, 12 + 22 + … + 142 + 152 bolas, la suma de los cuadrados de los 15 primeros números naturales. Esta cuenta se puede hacer con la calculadora o utilizar alguna de las fórmulas que permite calcularla, como la que explicamos en la entrada del Cuaderno de Cultura Científica, “matemáticas para ver y tocar”

Por tanto, 15 x 16 x 31 / 6 = 1.240 bolas)

 

Mateadictos: un problema de hermanos y hermanas

Una persona afirma “tengo tantos hermanos como hermanas”, mientras que su hermana dice “yo tengo dos veces más hermanos que hermanas”. ¿Cuántos hermanos son?

Solución:

Son tres hermanas y cuatro hermanos. Si la primera persona que habla es una de las hermanas, su situación sería la misma que la de la segunda hermana y según el enunciado no es así, por lo tanto, la primera persona que habla es uno de los hermanos. Por lo tanto, si x es el número de hermanos e y el número de hermanas, las afirmaciones del enunciado nos llevan a que x – 1 = y, 2 (y – 1) = x, y solucionando este sencillo sistema se obtiene que y = 3, x = 4