Mateadictos: un problema de pesadas

Tejemos 9 monedas, pero una de ellas es defectuosa y pesa diferente de las demás. ¿Cómo averiguar cuál es la defectuosa si contamos para ello con una balanza de platillos con dos brazos iguales? (nota: se trata de hacerlo con el menor número de pesadas posibles)

Si tienes la solución y quieres participar en el sorteo de libros de matemáticas, escribe la respuesta en un comentario a esta entrada o manda un correo a lamecanicadelcaracol@eitb.eus

Mateadictos: las tres cervezas

Tres amigos van a una fiesta de la cerveza. Cada uno de ellos lleva una jarra propia, uno de 5 dl (es decir, medio litro), otro de 4 dl y el tercero de 2 dl. Al llegar a la fiesta compran entre los tres una jarra de cerveza de 9 dl. ¿Cómo pueden conseguir (en la menor cantidad de movimientos posibles) dividir la cerveza que han comprado en tres partes iguales?

Solución:

Una de las posibles soluciones ( en total hay cuatro)

9 dl 5 dl 4 dl 2 dl
9 0 0 0
5 0 4 0
3 0 4 2
3 2 4 0
3 5 1 0
3 3 1 2
3 3 3 0

 

 

 

Mateadictos: El banquete de los 41

En un banquete hay 41 personas, hombres, mujeres y niños, que gastan en total 40 dracmas, pero cada hombre paga 4 dracmas, cada mujer 3 dracmas y cada niño 4 óbolos. Teniendo en cuenta que cada dracma equivale a 12 óbolos , ¿Cuántos hombres, mujeres y niños hay en este banquete?

Solución:

5 hombres, 3 mujeres y 33 niños. Si hay x hombres, y mujeres y z niños, las condiciones del problema nos dicen que x + y + z = 40, 4x + 9y + (4/12)z = 41. Con un poco de álgebra –multiplicando la segunda ecuación por 3- esta queda 12x + 9y + z = 120. Y restando ambas, 11x + 8y =79, cuya solución es x = 5, y =3.

Mateadictos: el problema del desfile militar

En un desfile militar se intenta organizar a los soldados para que en cada fila haya el mismo número de soldados. El mando a cargo del desfile descubre que si se les agrupa en filas de 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 o 12 soldados, siempre sobra un soldado, pero si en cada fila hay 13 soldados están justos. ¿Cuál es el mínimo número de soldados que cumple esta propiedad?

Solución:

Si llamamos n al número de soldados, sabemos que n – 1 es divisible por 2 (puesto que al hacer filas de 2 soldados sobraba uno), de la misma forma será divisible por 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 y 12, luego debemos tomar el mínimo común múltiplo de estos números, que es 23 x 32 x 5 x 7 x 11 = 27.720, luego el número de soldados es n = 27.721

 

Mateadictos: el problema del pintor

Un pintor debe de pintar dos esferas hechas con el mismo material, pero la mayor pesa 27 kilogramos y la pequeña 8. Si hacen falta 900 gramos de pintura para pintar la esfera grande, ¿cuántos se necesitarán para la pequeña?

Solución:

El volumen de cada esfera, y por lo tanto, también su peso es proporcional al cubo del radio de la misma, ya que volumen de la esfera = (4/3) x pi x (radio)3. Por lo tanto, si R es el radio de la esfera grande y r el de la pequeña, entonces el cociente entre los pesos, y entre los volúmenes, es Peso [R] / Peso [r] = V[R] / V[r] = R3 / r3 = 27 / 8.

Ahora, si tenemos en cuenta que el peso de la pintura necesaria es proporcional a la superficie de la esfera es 4 x pi x (radio)2, se deduce que Pintura [R] / Pintura [r] = S[R] / S[r] = 9/4, y el peso de la pintura de la esfera grande es Pintura [R] = 900 gramos, luego Pintura [r] = 400 gramos.

 

Mateadictos: el problema de las balas de cañón

Si en la época en la que se utilizaban bolas como proyectiles para los cañones, éstas se hubiesen almacenado formando una pirámide de base cuadrada, con 15 bolas de cañón de lado en el cuadrado de la base, ¿cuantas bolas de cañón habría en la pirámide?

Solución:

En la base tenemos un cuadrado de 15 por 15 bolas, luego hay un total de 152 bolas. La anterior capa es un cuadrado de lado 14, luego con 142 bolas. La siguiente tiene 132 bolas, y así se continúa hasta las dos capas superiores, que tienen 22 = 4 bolas y 1 bola. En total hay por lo tanto, 12 + 22 + … + 142 + 152 bolas, la suma de los cuadrados de los 15 primeros números naturales. Esta cuenta se puede hacer con la calculadora o utilizar alguna de las fórmulas que permite calcularla, como la que explicamos en la entrada del Cuaderno de Cultura Científica, “matemáticas para ver y tocar”

Por tanto, 15 x 16 x 31 / 6 = 1.240 bolas)

 

Mateadictos: un problema de hermanos y hermanas

Una persona afirma “tengo tantos hermanos como hermanas”, mientras que su hermana dice “yo tengo dos veces más hermanos que hermanas”. ¿Cuántos hermanos son?

Solución:

Son tres hermanas y cuatro hermanos. Si la primera persona que habla es una de las hermanas, su situación sería la misma que la de la segunda hermana y según el enunciado no es así, por lo tanto, la primera persona que habla es uno de los hermanos. Por lo tanto, si x es el número de hermanos e y el número de hermanas, las afirmaciones del enunciado nos llevan a que x – 1 = y, 2 (y – 1) = x, y solucionando este sencillo sistema se obtiene que y = 3, x = 4

Mateadictos: El cumpleaños de Uxue

Una noche cenando con unos amigos, le pregunté a su hija cual era la fecha de su cumpleaños, a lo que me contestó: “anteayer yo tenía 19 años y el año próximo tendré 22”.

¿Cual era la fecha del cumpleaños de Uxue, la hija de mis amigos?”

Solución:

La cena tuvo lugar el 1 de enero. Dos días antes de la misma (“anteayer” del enunciado) Uxune tenía 19 años. El 31 de diciembre fue su cumpleaños y cumplió 20 años. El mismo año que el día de la cena (que era el 1 de enero) cumpliría 21 años, aunque a finales de ese año. Y al año siguiente al de la cena, aunque de nuevo al final cumpliría 22 años)

 

Mateadictos: marchando una de cuadrados mágicos

Nos manda un oyente este ejercicio:

Se necesita una baraja de cartas y se toman las 9 cartas, de un mismo palo de la baraja, que están numeradas del 1 (el as) hasta el 9. Se deberán colocar las 9 cartas formando una retícula 3 x 3, de manera que las cartas de cada fila, de cada columna y de las dos diagonales sumen15.

Un cuadrado mágico de orden n, en el problema de nuestro oyente 3, es una distribución de los primeros n2 números, en este caso los 9 primeros números (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), sobre las casillas de un cuadrado n x n, en este caso 3 x 3, de forma que la suma de cada fila, cada columna y cada diagonal sea siempre la misma, en este caso 15 (por ejemplo, 4+9+2=15 o 4+3+8=15 pueden ser las sumas de alguna fila, columna o diagonal), y a ese número se le llama constante del cuadrado mágico.

Los cuadrados mágicos se cree que se originaron efectivamente en China, aunque también aparecen de forma temprana en Japón, India, Birmania, Tailandia y toda esa zona, también jugaron un papel importante en la cabalística de los hebreos, y llegaron hasta los árabes y de ahí a Europa. Aunque hay quien opina que también pudieron tener su origen en Grecia.

Desde el punto de vista matemático solo existe un cuadrado mágico 3 x 3, con los números del 1 al 9, salvo rotaciones y simetrías, el Lo-Shu, o buduh. Aunque si consideramos cuadrados mágicos de orden 4 (en los que introducimos los números del 1 al 16) la cosa ya cambia, puesto que hay 878 combinaciones posibles (de nuevo salvo rotaciones y simetrías), como demostró el matemático aficionado francés Bernard Frenicle de Bessy (1605-1675).

Cómo construir cuadrados de orden 4

Existen muchos métodos para construir cuadrados mágicos de orden 4 (y de cualquier orden). Veamos rápidamente uno de esos métodos… se empieza poniendo los números en el orden normal sobre el cuadrado, del 1 al 16, de izquierda a derecha y de arriba abajo, para después cambiar la posición de los 8 números que se encuentran en la parte central de cada uno de los lados, de forma que cada uno vaya al opuesto, es decir, el de arriba a la derecha irá abajo a la izquierda, y así con el resto.

SOLUCIONES: