Mateadictos: problemas de ingenio para todos los gustos

Raul Ibáñez nos deja en esta ocasión varios problemas de ingenio: atención porque los dos últimos son los que cuentan para el próximo sorteo de libros de matemáticas.

Los problemas de ingenio son una parte importante de esta pequeña ventana que abrimos a las matemáticas cada quince días en La Mecánica del Caracol, por eso hoy vamos a dedicar estos minutos a comentar algunos de los típicos problemas de ingenio, que incluso hemos propuesto aquí en algún programa. Los problemas de ingenio nos acercan al pensamiento matemático y a la resolución de problemas, y no olvidemos el placer que se siente tanto mientras intentamos resolverlos, como al conseguir hacerlo.

 

imagesProblema 1 (Los tres interruptores): Un electricista está revisando tres interruptores (llamémosles A, B, C) de luz en la planta baja de un hotel, que encienden tres luces que están en la última planta, pero no sabe qué interruptor corresponde a cada luz. El electricista quiere averiguarlo, pero en esos momentos no hay nadie que le pueda ayudar y no quiere subir más de una vez (el ascensor está estropeado), ¿cómo puede hacerlo?

Solución. La solución es bastante sencilla. Se trata de idear algún método que nos permita diferenciar las tres luces, en relación a los interruptores de la planta baja. Para ello hay que utilizar toda la información que nos sea posible. A priori la información que tenemos es que si encendemos un interruptor se encenderá una luz, pero eso no es suficiente para resolver la cuestión. Pero podemos añadir más información útil, por ejemplo, que cuando una luz ha estado encendida unos minutos la bombilla está caliente y eso puede ayudarnos. Esos dos datos van a ser suficientes para encontrar ya la solución.

Enciende los interruptores A y B y espera unos minutos. Entonces, apaga el interruptor B y sube. Cuando llegue al último piso, la bombilla encendida se corresponde con el interruptor A, la apagada caliente con el B y la apagada fría con el C.

Problema 2 (el peso de las sandías): Cuando están frescas, las sandías son en un 99% agua. Acaban de llegar 100 kilos de sandías frescas a un mercado. Pasados unos días, las sandías se secan un poco y su contenido de agua pasa a ser del 98%. ¿Cuánto pesan las sandías?

Solución: Para resolver cualquier problema, lo primero que debemos de hacer es analizar el enunciado del problema, conocer bien la información que nos dan y tener claro que es lo que nos preguntan.

Por el enunciado del problema, sabemos que hay 100 kilos de sandía, pero como el 99% son agua… de esos 100 kilos, 99 son de agua y solo 1 kilo es sólido, que es el 1%.

Luego nos dicen que pasados unos días las sandías se han secado, han perdido agua, y el contenido de agua ha pasado a ser del 98%. Luego, nos están diciendo que ahora el contenido sólido, que sigue siendo de 1kilo, es del 2%. Eso nos permite conocer cuánto pesan ahora las sandías, ya que si 1kilo es el 2%, el 100% son 50 kilos.

Problema 3 (Un bidón de agua): Un bidón lleno de agua pesa 240 kilos. Cuando está lleno hasta la mitad pesa 130 kilos. ¿Cuánto pesa el bidón?

Solución: Hay quienes se ponen a resolver este problema utilizando el álgebra. Esta es una potente herramienta, aunque en este caso es un simple ejercicio de lectura y lógica.

Cuando nos dicen que el bidón lleno de agua pesa 240 kilos, pero que cuando está lleno hasta la mitad pesa 130 kilos, nos están diciendo que el peso que falta (240 – 130 = 110 kilos) es el peso de la mitad del agua del bidón, luego todo el agua pesa 220 kilos. Es decir, el bidón vacío pesa 20 kilos.

Problema 4 (La jungla de cristal): Este es un problema clásico, pero que desde que apareció en la tercera entrega de la serie de películas La jungla de cristal, solemos aprovechar el encanto que pueda tener el que apareciera en una película comercial.

En la película, el “súper malo” (interpretado por Jeremy Irons) ha colocado una bomba dentro de un maletín en un parque público. Los protagonistas, el Teniente John McLane (Bruce Willis) y su amigo de turno Zeus Carver (Samuel L. Jackson), tienen que desactivarla. Para lograrlo deben colocar exactamente 4 galones de agua sobre una balanza. Disponen para ello de dos garrafas vacías de 5 y 3 galones respectivamente, un estanque de agua donde llenar las garrafas y un tiempo de 5 minutos. ¿Cómo conseguirlo?

Solución: Este problema de ingenio se resuelve viendo las cantidades de galones de agua que se pueden conseguir con esas dos garrafas, de 3 y 5 galones. Por ejemplo, es fácil obtener 2 galones, solamente hay que llenar la garrafa de 5 galones y con ella llenar la garrafa de 3 galones, cuando esta esté llena en la otra garrafa habrá 2 galones de agua.

Pero, ¿se pueden conseguir los 4 galones? Veamos que una vez conseguidos 2 galones es fácil. Primero, pongamos esos 2 galones, que hemos obtenido, en la garrafa de 3 galones y llenemos la garrafa de 5 galones. Ahora, si con la garrafa de 5 galones llenamos la garrafa de 3 galones, que ya tenía 2, es decir, que realmente le hemos echado 1 galón, en la garrafa de 5 galones quedarán los 4 galones que buscábamos.

indizeaProblema 5 (la planta acuática): Este es otro de esos pequeños problemas clásicos. Aunque puede cambiar un poco la literatura del problema, por ejemplo, en ocasiones se plantea con bacterias, su enunciado es este: sobre la superficie de un lago hay una planta acuática de una sola hoja que cada día duplica su superficie. En 8 días cubrirá toda la superficie del agua. ¿Cuántos días tardaría en cubrir la misma superficie de agua la planta si tuviera dos hojas iguales?

Solución: Si una hoja duplica su superficie cada día y en 8 días ha cubierto toda la superficie del agua, entonces en 7 días ha cubierto la mitad de la superficie. Es decir, si hubiera dos hojas, cada una de ellas cubre la mitad de la superficie del agua en 7 días, por lo tanto, entre ambas han cubierto toda la superficie…  en 7 días.

Problema 6 (Uno de pesadas): Los problemas de pesadas son muy típico, veamos uno de ellos. Dice así: supongamos que tenemos una caja con ocho perlas del mismo color y tamaño. Siete de ellas tienen el mismo peso y una es más ligera. Si poseemos una balanza con dos platillos, ¿cuál es el número mínimo de pesadas que tenemos que hacer para saber cuál de las perlas pesa menos? ¿puede hacerse sólo con dos pesadas?

Solución: Este es el típico que si no nos sugieren que se puede hacer en dos pesadas es probable que lo hubiésemos solucionado en más pesadas. Pero por supuesto que puede hacerse en dos pesadas.

Veamos cómo hacerlo…en una primera pesada, ponemos tres perlas en un platillo de la balanza y tres en el otro. Hay dos posibilidades. La primera es que pesen lo mismo, con lo cual la perla que pesa menos es una de las dos que no están en la pesa, por lo que en la segunda pesada ponemos una de ellas en cada platillo y la que pese menos esa es.

En la segunda opción tenemos que uno de los platillos con tres perlas pesa menos, luego ahí está la perla que pesa menos, entonces tomamos dos de esas dos perlas y ponemos una en cada platillo, con lo que si pesan lo mismo, la que pesa menos es la tercera y si no pesan lo mismo obtenemos cuál de ellas pesa menos.

 Y éste cuentan para nota ( las respuestas entran en el sorteo)

Problema (¿cómo repartir el tesoro?):

imagesUn grupo de estudiantes ha encontrado un tesoro y quieren repartirlo entre el mayor número de compañeros de manera que cada persona reciba la misma cantidad de tesoro. El tesoro consiste en 42 barras de platino, 70 barras de oro y 112 de plata. ¿Cuál es ese número máximo de estudiantes para repartir el tesoro?

Mateadictos: buscando números cuadrados

numero-de-la-suerte
El último reto de 2016 que nos deja Raúl Ibáñez es éste: Buscar un número cuyo cuadrado sea de la forma aabb

Solución :

Para empezar, observemos que un número de la forma aabb se puede escribir como

aabb = a ´ 1000 + a ´ 100 + b ´ 10 + b

luego consideramos los dos primeros sumandos a ´ 1000 + a ´ 100 y podemos sacar como factor común a ´ 100 y queda

(10 +1) ´  (a ´ 100 ) = 11 ´  (a ´ 100 ),

y lo mismo para los dos últimos sumandos b ´ 10 + b, que sacando b como factor común queda 11 ´  b. Entonces, queda

aabb = 11 ´  (a ´ 100 + b)

Es decir, 11 divide a aabb, pero si es un número cuadrado, realmente está dividido por 112. Luego se expresa como

aabb = (11 ´ n)2.

Y ahora dándole valores a n, descubrimos que la expresión se satisface para n = 8, siendo a = 7 y b = 4. Es decir, 882 = 7.744.

Mateadictos: De Bilbao a Varsovia y viceversa

warsawDos coches, uno en Bilbao y el otro en Varsovia, se ponen en marcha en el mismo momento y con destino la otra ciudad. Cuando ambos coches se cruzan en el camino, los bilbaínos han recorrido 1/5 más que los varsovianos de la distancia que hay entre las dos ciudades. A partir de ese punto, los bilbaínos tardan 8 horas en llegar a Varsovia. ¿Cuántos días han tardado bilbaínos y varsovianos en realizar el viaje?

Nota: en el problema suponemos que ambos coches viajan a una velocidad constante y sin parar

Solución

Al cruzarse los dos coches en el camino, los bilbaínos han recorrido 3/5 del camino y los varsovianos 2/5, luego la velocidad de los varsovianos es 2/3 de la de los bilbaínos. A partir del momento en el que se cruzan, los bilbaínos han tardado 8 horas en recorrer 2/5 del trayecto, luego han tardado 8 x 5 / 2 = 20 horas en realizar todo el camino. Teniendo en cuenta la relación entre las velocidades, los varsovianos han tardado 20 : 2/3 = 30 horas).

El ganador del sorteo ha sido David Narbarte

Mateadictos: el torneo de ajedrez

imagesEl fin de semana pasado se celebró en Biarritz un torneo de ajedrez vasco-navarro, al que acudieron 39 personas. Durante el mismo, un navarro jugó partidas de ajedrez contra 6 vascos, un segundo navarro contra 7 vascos, un tercero contra 8, y así sucesivamente, hasta que el último navarro jugó al ajedrez contra todas las personas del País Vasco. ¿Cuántas personas de Navarra y del País Vasco acudieron al torneo?

Solución:

Si llamamos n al número de navarros y v al de vascos, resulta que los navarros han ido jugando contra 5 +1, 5+2, 5+3,… hasta [5 + n = v] vascos, y como en total hay 39 personas, entonces 39 = n + v = n + (n + 5), es decir, n = 17 y v = 22

Mateadictos: un problema a dos velas (¿o a más de dos?)

imagesEl problema

Con motivo del día de todos los santos hemos comprado un cierto número de velas, cada una de las cuales tarda en consumirse cuatro horas una vez encendida, con el objetivo de realizar un pequeño homenaje a nuestros familiares fallecidos. Ese primer día encendemos una vela durante una hora, al día siguiente encendemos dos velas durante el mismo tiempo, al día siguiente tres velas y así sucesivamente. ¿Cuántas velas hemos comprado si el último día terminamos de gastar exactamente todas las velas que habíamos comprado?

Solución:

El número de velas es 7. El motivo es que el número total de horas en las que han estado encendidas las velas ha sido de 1 + 2 + 3 + … + n, siendo n el número de días que han estado encendidas (que el un dato que desconocemos); pero por la fórmula de la suma de los n primeros números, esta suma es igual a 1 + 2 + 3 + … + n = n (n + 1) /2. Según el texto del problema, solo podemos saber que esa cantidad es múltiplo de 4 [4m], puesto que cada una de las m velas tarda 4 horas en consumirse. Hay múltiples soluciones, 7, 8, 15, 16, etc… Si el número de días es igual al de velas, entonces, n = 7.

El ganador del sorteo es Alberto Díez Iturricastillo.

Mateadictos: un problema de trueques

El trueque:

Un campesino va a una feria de ganado, en la que no se utiliza el dinero, sino que funcionan mediante el método del trueque, con el objetivo de cambiar su vaca por ovejas. Al llegar a la feria pregunta que trueques se están realizando, a lo que le contestan que una oveja y una vaca se cambian por un caballo, una vaca por una oveja y un asno, y tres asnos valen lo que un caballo. ¿Cuántas ovejas consiguió el campesino?

images

El ganador del sorteo es Félix Alzate, que nos ha mandado la siguiente explicación:

1 caballo = 2 ovejas + asno

3 asnos = 2 ovejas + asno

2 asnos = 2 ovejas

asno = oveja

vaca = oveja + asno = oveja + oveja

 

Mateadictos: buscando el camino

Raul Ibáñez nos trae en esta ocasión un problema de geometría.  Coged lápiz y papel y ¡manos a la obra!

El camino:

Consideremos una zona de cierta ciudad, por ejemplo, Nueva York, con 6 avenidas en la dirección norte-sur y 5 avenidas en la dirección este-oeste. En cada una de las 20 zonas cuadradas marcadas por las avenidas hay un edificio, 5 columnas y 4 filas de edificios (como se ve en la imagen). El reto consiste en trazar un camino entre los puntos A (esquina izquierda-arriba) y B (esquina derecha-abajo), de manera que no se pase más de una vez por el mismo sitio y se pase por tantos lados de cada edificio como indica el número pintado en el mismo.

camino
Y esta es la solución al problema:

solucion

Como ha acertado el ganador de este reto: Iñigo Mendiolea, que nos ha enviado esta respuesta:

sol

Mateadictos: Un problema de retículas

Con el inicio del nuevo curso en la emisora llega Raul Ibáñez y una nueva colección de problemas de matemáticas y retos de ingenio que iremos descubriendo en La mecánica del caracol cada dos martes. Este es el primer reto:

La retícula:

En un libro de Retos Matemáticos de Juan Diego Sánchez se plantea adivinar los números que corresponden a las interrogaciones en la siguiente retícula 5 x 3…

cuadro
Respuesta:

resp

El ganador ha sido Luís, que se lleva a casa libros d ematemáticas.

Mateadictos: un sujiko para empezar el verano

En el año 2010, Jai Kobayaashi Gomer desarrolló una serie de puzzles numéricos, llamados sujiko y suko, herederos de los sudokus, que aparecieron primero en los periódicos ingleses como The Times y The Telegraph, y que posteriormente, empezaron a aparecer en periódicos de todo el mundo, como por ejemplo, El País.

El tablero del sujiko es una cuadrícula 3 x 3, con cuatro espacios circulares colocados en las cuatro intersecciones de las líneas horizontales y verticales de la cuadrícula, en los cuales hay escritos cuatros números (por ejemplo, 15, 18, 19, 22). El objetivo del puzzle es colocar los números del 1 al 9 en los recuadros de forma que la suma de los números que estén en los recuadros alrededor de cada círculo es exactamente el número escrito en el mismo.

Problema (Sujiko): Colocar los números del 1 al 9 en los recuadros de forma que la suma de los números que estén en los recuadros alrededor de cada círculo es exactamente el número escrito en el mismo.

Para entrenar, otro sujiko con tres números colocados…

sujo12
Solución:

El ganador del sorteo, Iñigo Gabarain, nos ha dejado unas cuantas posibles soluciones

su

X1          X2           X3            X4           X5           X6           X7         X8         X9

1          4          8          2          7          5          3          6          9

1          7          5          2          6          3          4          8          9

1          8          4          2          3          5          7          6          9

3          6          2          4          7          1          5          8          9

4          2          8          1          6          9          3          7          5

4          8          1          2          3          5          7          9          6

5          2          7          1          6          9          3          8          4

5          6          3          1          2          9          7          8          4

6          1          3          5          4          8          9          2          7

7          1          2          5          4          8          9          3          6

7          1          2          5          9          3          4          8          6

7          1          5          2          6          9          4          8          3

 

Mateadictos: Los pasteles de aitite Patxi

El reto: 

Todos los miércoles por la tarde, los nietos del aitite Patxi van a visitarle y este les da siempre la misma cantidad de pastelitos a cada uno. Un miércoles, Aitor no puede ir a casa de su aitite y los demás nietos reciben dos pastelitos de más. Sin embargo, al siguiente miércoles Aitor va a casa de su aitite con su amigo Asier y cada uno de ellos recibe ese día un pastelito de menos. ¿Cuántos nietos tiene Patxi?

Solución: 3 nietos y 12 pasteles

El ganador de este reto ha sido: Javier Agirre.