Mateadictos: el problema del pintor

Un pintor debe de pintar dos esferas hechas con el mismo material, pero la mayor pesa 27 kilogramos y la pequeña 8. Si hacen falta 900 gramos de pintura para pintar la esfera grande, ¿cuántos se necesitarán para la pequeña?

Solución:

El volumen de cada esfera, y por lo tanto, también su peso es proporcional al cubo del radio de la misma, ya que volumen de la esfera = (4/3) x pi x (radio)3. Por lo tanto, si R es el radio de la esfera grande y r el de la pequeña, entonces el cociente entre los pesos, y entre los volúmenes, es Peso [R] / Peso [r] = V[R] / V[r] = R3 / r3 = 27 / 8.

Ahora, si tenemos en cuenta que el peso de la pintura necesaria es proporcional a la superficie de la esfera es 4 x pi x (radio)2, se deduce que Pintura [R] / Pintura [r] = S[R] / S[r] = 9/4, y el peso de la pintura de la esfera grande es Pintura [R] = 900 gramos, luego Pintura [r] = 400 gramos.

 

3 pensamientos en “Mateadictos: el problema del pintor

  1. Josué Raúl García Soria Mondragón

    Hipótesis: La densidad de ambas esferas es la misma al ser del mismo material. Esto se traduce en que podemos plantear la siguiente ecuación:
    [Ec. 1] D_27=D_8 donde D_27 es la densidad de la esfera que tiene por masa 27 kg y D_8 es la densidad de la esfera que tiene por masa 8 kg

    Sabiendo que la densidad es masa entre volumen podemos reescribir la [Ec. 1] de la siguiente manera:
    [Ec. 2] m_27/V_27 = m_8/V_8 donde: m_27 es la masa de la esfera de 27 kg, V_27 es el volumen de la esfera antes citada, m_8 es la masa de la esfera de 8 kg y V_8 es el volumen de esta última esfera. Por hipótesis se saben las masas de tal modo que la [Ec. 2 ] se puede replantear así:
    [Ec. 3] 27/V_27 = 8/V_8 entonces V_27/V_8=27/8
    Se sabe que el volumen de una esfera es 4/3*pi*r^3. Con base en lo anterior la [Ec. 3] se transforma a:
    [Ec. 4] (4/3*pi*r_27^3)/(4/3*pi*r_8^3)=27/8 que al reducirse se obtiene:
    [Ec. 5] r_27^3/r_8^3=27/8 y que al extraer la raíz cúbica obtenemos la razón entre los radios de las esferas:
    [Ec. 6] r_27/r_8=3/2
    De la anterior ecuación se deduce que:
    [Ec. 7] r_8/r_27=2/3
    Sabemos que se han necesitado 900 g de pintura para pintar la esfera grande y también se sabe que el área de una esfera se calcula a través del producto de cuatro veces pi por el radio cuadrado. Lo anterior permite plantear la siguiente proporción
    [Ec. 8] 4*%pi*r_27^2/900=4*%pi*r_8^2/x donde x es la incógnita que estamos buscando. Reduciendo la ecuación inmediata anterior tenemos:
    [Ec. 9] x=(900*r_8^2)/r_27^2=900*(r_8/r_27)^2=900*(2/3)^2=900*4/9=400
    Conclusión: se necesitan 400 g para pintar la esfera pequeña

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  2. PAULA

    Paula Ortega. 9 años: Si para pintar 27 kg. necesitamos 900 grs. de pintura, para pintar 8 kg. necesitaremos 266,66 grs.

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  3. Xabier Uriarte Olaeta

    La respuesta son 400 gr de pintura.
    Primero utilizamos la fórmula del volumen de una esfera para calcular la relación de los dos radios que es de 3 a 2.
    A continuación, con esta relación de radios, utilizamos la fórmula de la superficie de una esfera para obtener el valor de 400 gr de pintura (la densidad de la pintura es la misma para ambas esferas)

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